摘   要
模的理論是現(xiàn)代數(shù)學中越來越重要的工具，它統(tǒng)一了許多數(shù)學結(jié)構(gòu)，也是研究交換代數(shù)的基本工具。而在模的所有運算中，模的交運算是一個相當重要的運算法則，它有很多應用背景。
問題是怎樣計算出理想和子模的交的基本運算？事實上，存在一些不同的計算模的交的方法，但它們的計算方法往往相當復雜，不易得到。我們的目標是所運用的方法可以很容易的轉(zhuǎn)換到代數(shù)中，能夠運用已學過的知識來解決問題。
本文主要介紹了模相關的基本概念和各個部分的相關知識，包括理想和模的Gröebner基。并介紹了一種構(gòu)造模的交的算法，該方法不但能很好地解決上述問題，且相對容易，便于在計算機上的應用。與現(xiàn)有的方法相比較，實例表明改進后的方法能夠更有效地、快速的計算出結(jié)果。
本文的基礎是模，創(chuàng)新點在于：
1. 利用Gröebner基的相關理論改進了理想的交的算法理論，使結(jié)果可以更加容易得到，并給出了計算算法。
2. 利用模的相關理論改進了模的交的算法理論，使結(jié)果可以更加容易得到，并給出了計算算法。
3. 將所有改進后的算法用程序有效實現(xiàn)。實例表明改進后的程序能夠比較有效地計算出理想與模的交。

關鍵詞：理想，Gröebner基，模，合沖模，模的交

ABSTRACT
The theory of modules is increasingly important in modern mathematics. It unifies many mathematical structures, and is the basic tools in commutative algebra. Computation of the intersection of modules plays a very crucial  role in many application fields.
The question is how to do we compute efficiently the intersection of the ideals and sub-module ? In fact, we have various different approaches to compute the intersection of two modules in the theoretic sense. Our goal is to apply some methods in Computer Algebra to deal the related problems.
This paper introduces firstly the basic concepts and modules-related parts of  knowledge, including Ideals and modules and Gröebner bases. One presents an approach to compute intersection of modules, which is relatively easy to be implemented in the computer System.
This paper is based on modules, The main result of this paper:
1.Apply the theory of Gröebner basis to improve the method for computing intersection of ideals , and the algorithm is also presented.
2.Apply the theory of modules to improve the method for computing intersection of  Modules.
3. Implement all the algorithms in this paper in Maple System.Several examples are illustrated our improvements.

Keywords: Ideals,Gröebner basis,Modules,Syzygy Modules,Intersection of modules

 
目  錄

第一章  緒論 1
1.1 研究背景及意義 1
1.2 模的發(fā)展與現(xiàn)狀 2
1.3 本文主要內(nèi)容 2
1.4 本文安排內(nèi)容 3
第二章 基礎知識及相關理論 4
2.1 環(huán)的基本理論 4
2.1.1 環(huán)的定義及基本性質(zhì) 4
2.1.2 環(huán)同態(tài) 5
2.2 域的基本理論 6
2.3 理想 8
2.4 模及其相關理論 10
2.4.1 模、子模與商模 10
2.4.2 模同態(tài) 11
2.4.3 直和、直積與自由模 12
2.4.4 合沖模 13
2.5 本章小結(jié) 13
第三章  理想和模的Gröebner基 14
3.1 Gröebner基的基本理論 14
3.2 Hilbert基定理及Gröebner基的算法 16
3.3 MAPLE 符號計算軟件介紹 18
3.3.1 Maple簡介 18
3.3.2 Gröebner基軟件包 19
3.4 理想的交的計算 20
3.4.1 基本定理 20
3.4.2 相應算法 22
3.4.3 進一步研究 22
3.5 模的Gröebner基 25
3.6 本章小結(jié) 26
第四章  模的交的算法研究 27
4.1 合沖模及其算法 27
4.2 兩個子模的交 30
4.3 多個子模的交 34
4.4 相關算法 39
4.5 本章小結(jié) 39
第五章  結(jié)論與展望 41
參考文獻 42

摘   要
模的理論是現(xiàn)代數(shù)學中越來越重要的工具，它統(tǒng)一了許多數(shù)學結(jié)構(gòu)，也是研究交換代數(shù)的基本工具。而在模的所有運算中，模的交運算是一個相當重要的運算法則，它有很多應用背景。
問題是怎樣計算出理想和子模的交的基本運算？事實上，存在一些不同的計算模的交的方法，但它們的計算方法往往相當復雜，不易得到。我們的目標是所運用的方法可以很容易的轉(zhuǎn)換到代數(shù)中，能夠運用已學過的知識來解決問題。
本文主要介紹了模相關的基本概念和各個部分的相關知識，包括理想和模的Gröebner基。并介紹了一種構(gòu)造模的交的算法，該方法不但能很好地解決上述問題，且相對容易，便于在計算機上的應用。與現(xiàn)有的方法相比較，實例表明改進后的方法能夠更有效地、快速的計算出結(jié)果。
本文的基礎是模，創(chuàng)新點在于：
1. 利用Gröebner基的相關理論改進了理想的交的算法理論，使結(jié)果可以更加容易得到，并給出了計算算法。
2. 利用模的相關理論改進了模的交的算法理論，使結(jié)果可以更加容易得到，并給出了計算算法。
3. 將所有改進后的算法用程序有效實現(xiàn)。實例表明改進后的程序能夠比較有效地計算出理想與模的交。

關鍵詞：理想，Gröebner基，模，合沖模，模的交

ABSTRACT
The theory of modules is increasingly important in modern mathematics. It unifies many mathematical structures, and is the basic tools in commutative algebra. Computation of the intersection of modules plays a very crucial  role in many application fields.
The question is how to do we compute efficiently the intersection of the ideals and sub-module ? In fact, we have various different approaches to compute the intersection of two modules in the theoretic sense. Our goal is to apply some methods in Computer Algebra to deal the related problems.
This paper introduces firstly the basic concepts and modules-related parts of  knowledge, including Ideals and modules and Gröebner bases. One presents an approach to compute intersection of modules, which is relatively easy to be implemented in the computer System.
This paper is based on modules, The main result of this paper:
1.Apply the theory of Gröebner basis to improve the method for computing intersection of ideals , and the algorithm is also presented.
2.Apply the theory of modules to improve the method for computing intersection of  Modules.
3. Implement all the algorithms in this paper in Maple System.Several examples are illustrated our improvements.

Keywords: Ideals,Gröebner basis,Modules,Syzygy Modules,Intersection of modules

 
目  錄

第一章  緒論 1
1.1 研究背景及意義 1
1.2 模的發(fā)展與現(xiàn)狀 2
1.3 本文主要內(nèi)容 2
1.4 本文安排內(nèi)容 3
第二章 基礎知識及相關理論 4
2.1 環(huán)的基本理論 4
2.1.1 環(huán)的定義及基本性質(zhì) 4
2.1.2 環(huán)同態(tài) 5
2.2 域的基本理論 6
2.3 理想 8
2.4 模及其相關理論 10
2.4.1 模、子模與商模 10
2.4.2 模同態(tài) 11
2.4.3 直和、直積與自由模 12
2.4.4 合沖模 13
2.5 本章小結(jié) 13
第三章  理想和模的Gröebner基 14
3.1 Gröebner基的基本理論 14
3.2 Hilbert基定理及Gröebner基的算法 16
3.3 MAPLE 符號計算軟件介紹 18
3.3.1 Maple簡介 18
3.3.2 Gröebner基軟件包 19
3.4 理想的交的計算 20
3.4.1 基本定理 20
3.4.2 相應算法 22
3.4.3 進一步研究 22
3.5 模的Gröebner基 25
3.6 本章小結(jié) 26
第四章  模的交的算法研究 27
4.1 合沖模及其算法 27
4.2 兩個子模的交 30
4.3 多個子模的交 34
4.4 相關算法 39
4.5 本章小結(jié) 39
第五章  結(jié)論與展望 41
參考文獻 42