利用半正定規(guī)劃解決相位恢復(fù)問題

1.15萬(wàn)字 38頁(yè) 原創(chuàng)作品，通過查重系統(tǒng)


摘 要

這篇論文主要討論一些解決相位恢復(fù)問題的具體方法，簡(jiǎn)單地解釋相位恢復(fù)問題，例如將一個(gè)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換會(huì)得到一些復(fù)數(shù)，但是我們只知道這些復(fù)數(shù)的模而不知道它們的相位，我們需要用這些復(fù)數(shù)的模來(lái)恢復(fù)出原來(lái)的信號(hào)，這個(gè)問題就是相位恢復(fù)問題。這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在X射線晶體學(xué)，圖像處理等相關(guān)學(xué)科。
我們主要通過學(xué)習(xí)研究E.J.Candes等人的利用半正定規(guī)劃（SDP）解決相位恢復(fù)問題的理論寫出了這篇論文。由于相位恢復(fù)問題是個(gè)非凸問題，利用凸松弛的思路，我們把秩約束變成了跡范數(shù)約束，這是因?yàn)閺木仃嚨南∈栊钥紤]，矩陣的秩和跡都能表示矩陣的稀疏性，不同的是，秩約束相當(dāng)于向量的0范數(shù)問題而跡范數(shù)約束卻相當(dāng)于1范數(shù)問題，在一定條件下，這兩個(gè)是可以相互轉(zhuǎn)化得到的優(yōu)化結(jié)果是一樣的，但是“0范數(shù)”是個(gè)非凸問題是很難去解決的，而“1范數(shù)”問題是個(gè)凸規(guī)劃問題是可以較好解決的，所以我們利用跡范數(shù)約束去代替原來(lái)的秩約束，從而把非凸問題轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃問題。另外，我們還利用物理裝置來(lái)調(diào)制信號(hào)收集編碼衍射的圖案的強(qiáng)度，利用半正定規(guī)劃同樣可以解出其原來(lái)的信號(hào)，其中利用凸松弛的方法解決相位恢復(fù)問題叫做Phaselift。本文還簡(jiǎn)要介紹利用交替最小化解決相位恢復(fù)的問題，但交替最小化算法的收斂性是個(gè)開放性問題，因?yàn)槟Ｐ捅旧硎欠峭箚栴}，所以在很多問題中他的收斂性并不能保證。在相位恢復(fù)問題的應(yīng)用中，這個(gè)算法在一定條件下可以理論保證其收斂到全局最優(yōu)點(diǎn)。



關(guān)鍵字：相位恢復(fù)；半正規(guī)劃；交替最小化